Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Примечание: Линейная зависимость пары функций означает, что одна из функций получается из другой умножением на константу: в общем случае, если функции линейно зависят от a,b , то по крайней мере одна из них является линейной комбинацией других.

Задача: Покажите, что если система функций линейно независима на промежутке a, b, то любая подсистема этой системы функций также линейно независима на a, b.

Теорема.

Теорема: Необходимое условие линейной зависимости функций. Пусть дважды дифференцируемые функции линейно зависят от промежутка a, b. Для определенности предположим, что мы решаем тождество относительно Пусть мы составляем определитель системы функций или, с учетом формул 1 и 2, первый столбец определителя является линейной комбинацией двух других для любого такого определителя, как известно, равен нулю; следовательно, следующая теорема легко доказывается рассуждением от противного.

Теорема: Если определитель Вронского W x системы из n функций не является тождественно нулевым в некотором интервале a, b , то эти функции линейно независимы в этом интервале. Для произвольной системы n - 1 раз дифференцируемых на a,b функций обратная теорема 5 неверна. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример. Для функций на рис. Заметим, что в интервалах -1,0 и 0,1 функции уже линейно зависимы.

Если мы выберем m достаточно большим, то получим систему функций с непрерывными производными любого желаемого порядка. Задача: Что можно сказать об определителе Вронского системы функций, если известно, что эти функции a линейно зависимы; b линейно независимы? Теорема: Необходимое условие линейной независимости решений. Если линейно независимые функции на интервале a, b являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами на [a, b], то определитель Вронского системы функций не может обращаться в нуль ни в одной точке интервала a, b.

Допустим, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю: Постройте систему трех линейных однородных алгебраических уравнений относительно определителя этой системы в силу предположения равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение при хотя бы одном отличном от нуля числе.

Например, функция It является линейной комбинацией решений уравнения 3 , а значит, сама является решением этого уравнения. Это решение в силу уравнений 4 удовлетворяет нулевым начальным условиям Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение уравнения 3 и, по теореме о сингулярности решения, только это решение. Следовательно, хотя бы одно из них ненулевое. Таким образом, решения оказываются, вопреки условию теоремы, линейно зависимыми.

Противоречие возникает из предположения, что W x равен нулю в точке So наше предположение неверно, и везде в интервале a, b. Из теорем 5 и 7 в качестве следствия получаем следующую важную теорему. Теорема: Для того чтобы частные решения линейного однородного диффеоморфного уравнения 3 с коэффициентами, непрерывными на интервале [a, b], были линейно независимы на интервале a, b , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W x системы решений был ненулевым.

Необходимость условия следует непосредственно из Теоремы 7. Достаточность условия следует из того, что для линейной зависимости функций по Теореме 5 имеем

Навигация

Comments

  1. Я считаю, что Вы допускаете ошибку. Давайте обсудим это. Пишите мне в PM, поговорим.